UDK / 51 / 512 Алгебра

Эта книга предназначена для студентов педагогических институтов и университетов и в отношении как характера, так и плана изложения во многом существенно отличается от моего учебника „Высшая алгебра", выдержавшего несколько изданий. Не останавливаясь на деталях, отмечу следующее. В главу II внесен ряд методических улучшений, позволяющих, на мой взгляд, более отчетливо изложить линейную зависимость /г-мерных векторов. Поскольку в главе IV излагается общая теория многочленов над произвольным числовым полем, я счел целесообразным начать эту главу с комплексных чисел. Материал этой главы подвергся основательной переработке. Глава V посвящена основной теореме алгебры и вопросу решения алгебраических уравнений в радикалах. В § 33 и 34 этой главы дается представление о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и рассматриваются уравнения третьей и четвертой степени, а в § 35 излагаются необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений третьей степени в квадратных радикалах. Затем эти условия применяются к некоторым классическим задачам из теории геометрических построений. Заключительный параграф (§ 36) главы V содержит некоторые исторические сведения, относящиеся к вопросу решения уравнений в радикалах, а также краткое изложение идеи метода Лобачевского приближенного вычисления комплексных корней. Глава VI посвящена численному решению алгебраических уравнений. При этом способы Ньютона и прямолинейного интерполирования излагаются в тесной связи с методом итераций, что мне кажется вполне оправданным. Глава VII написана мною заново. В нее я включил параграфы, посвященные результанту и исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений высших степеней с двумя неизвестными. Понятие результанта вводится здесь по Сильвестеру и с меньшей громоздкостью. Попутно отмечу, что лемма о высшем члене произведения двух многочленов излагается уже в § 42, так как она используется не только для доказательства основной теоремы о симметрических многочленах, но и для простого доказательства теоремы об отсутствии делителей нуля в. кольце многочленов от нескольких неизвестных над числовым полем. Доказательство леммы проводится методом математической индукции. В конце книги помещено приложение, посвященное вопросу неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это приложение уже выходит за пределы программы курса высшей алгебры и по своему содержанию труднее, чем предшествующие главы книги. Оно предназначено для читателей несколько более узкого круга, желающих углубить и дополнить свои знания по высшей алгебре. Изложение я здесь сознательно сделал более лаконичным,—это будет способствовать более активному и глубокому восприятию материала. В книге содержится ряд упражнений, необходимых для усвоения курса.

Этот задачник предназначен для студентов физико-математического факультета педагогических институтов и содержит задачи, посвященные теории определителей, общей теории систем линейных уравнений с несколькими неизвестными, теории матриц, группам, кольцам и полям, комплексным числам, многочленам от одного неизвестного, алгебраическим расширениям и решениям алгебраических уравнений в квадратных радикалах, теории симметрических многочленов и теории исключения. Наряду с упражнениями, предназначенными для овладения общих приемов решения типовых задач, в сборнике имеются задачи, содействующие лучшему усвоению теоретического материала, а также задачи, являющиеся обобщением и углублением задач курса элементарной алгебры.

Книга обеспечивает весь обязательный университетский курс высшей алгебры, а не только его первые два семестра. В книгу включено несколько новых глав. Одна из них посвящена основам теории групп, а остальные относятся к линейной алгебре - теория линейных пространств, теория евклидовых пространств и жордановой нормальной формы матрицы. Студентам будет удобно иметь весь обязательный материал собранным в одном учебнике и изложенным единым стилем.